Упр.849 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 849. Верно ли утверждение: последовательность (a_n) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой её член, начиная со второго, есть среднее арифметическое равноудалённых от него членов?

Пусть последовательность $$\left(a_n\right)$$ — арифметическая прогрессия. Тогда для любого $$n \ge 2$$ и любого $$k$$, при котором члены $$a_{n-k}$$ и $$a_{n+k}$$ существуют, имеем:

$$a_{n-k}=a_1+d(n-k-1), \qquad a_{n+k}=a_1+d(n+k-1).$$

Сложим эти выражения:

$$a_{n-k}+a_{n+k}=2a_1+d\bigl((n-k-1)+(n+k-1)\bigr)=2a_1+d(2n-2).$$

Тогда

$$\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}=\frac{2a_1+d(2n-2)}{2}=a_1+d(n-1)=a_n.$$

Значит, любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим равноудалённых от него членов.

Теперь докажем обратное. Пусть для любой подходящей пары индексов выполняется

$$a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}.$$

Тогда

$$2a_n=a_{n-k}+a_{n+k}.$$

В частности, при $$k=1$$ получаем

$$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1},$$

то есть

$$a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}.$$

Разности соседних членов равны, следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ

Да, утверждение верно: последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому равноудалённых от него членов.