Упр.848 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 848. Докажите, что если последовательность (а_n) — арифметическая прогрессия и a_p+a_m=a_k+a_l, то p+m=k+l.

Пусть $$a_n$$ — арифметическая прогрессия с первым членом $$a_1$$ и разностью $$d$$. Тогда

$$a_n=a_1+d(n-1).$$

Запишем сумму левой части:

$$a_p+a_m=\bigl(a_1+d(p-1)\bigr)+\bigl(a_1+d(m-1)\bigr)=2a_1+d(p+m-2).$$

Аналогично для правой части:

$$a_k+a_l=\bigl(a_1+d(k-1)\bigr)+\bigl(a_1+d(l-1)\bigr)=2a_1+d(k+l-2).$$

По условию $$a_p+a_m=a_k+a_l$$, значит

$$2a_1+d(p+m-2)=2a_1+d(k+l-2).$$

После сокращения получаем

$$d(p+m-2)=d(k+l-2).$$

Если $$d\neq 0$$, то

$$p+m-2=k+l-2,$$

откуда

$$p+m=k+l.$$

Если $$d=0$$, то прогрессия постоянная, и равенство $$a_p+a_m=a_k+a_l$$ выполняется при любых $$p,m,k,l$$; в этом случае утверждение о равенстве индексов не следует. Поэтому для нетривиальной арифметической прогрессии $$d\neq 0$$ получаем требуемое.

Ответ

$$p+m=k+l.$$