Упр.846 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 846. Докажите, что если длины сторон прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию, то радиус вписанной окружности равен разности этой прогрессии.

Пусть стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию и равны $$a-d,\ a,\ a+d.$$

Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора:

$$ (a-d)^2+a^2=(a+d)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ a^2-2ad+d^2+a^2=a^2+2ad+d^2, $$

$$ a^2-4ad=0, $$

$$ a(a-4d)=0. $$

Так как $$a>0,$$ получаем $$a=4d.$$

Значит, стороны треугольника равны $$3d,\ 4d,\ 5d.$$

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен

$$ r=\frac{a+b-c}{2}, $$

где $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза. Тогда

$$ r=\frac{3d+4d-5d}{2}=d. $$

Следовательно, радиус вписанной окружности равен разности арифметической прогрессии.

Ответ

$$r=d.$$