Упр.843 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Задайте формулой функцию, обратную данной:
   а) $$y=1-v(x-2)$$;
   б) $$y=1+v(x-2)$$.
2. Докажите, что произведение $$P_n$$ первых $$n$$ членов последовательности $$1-\frac{4}{1},\ 1-\frac{4}{9},\ 1-\frac{4}{25},\ \ldots,\ 1-\frac{4}{(2n-1)^2},\ \ldots$$ равно $$\frac{1+2n}{1-2n}$$.

Обозначим

$$P_n=\left(1-\frac{4}{1^2}\right)\left(1-\frac{4}{3^2}\right)\cdots\left(1-\frac{4}{(2n-1)^2}\right).$$

Докажем по индукции, что

$$P_n=\frac{1+2n}{1-2n}.$$

1. База индукции. При $$n=1$$ имеем

$$P_1=1-\frac{4}{1^2}=1-4=-3,$$

а также

$$\frac{1+2\cdot 1}{1-2\cdot 1}=\frac{3}{-1}=-3.$$

Равенство верно.

2. Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$P_k=\frac{1+2k}{1-2k}.$$

Тогда

$$P_{k+1}=P_k\left(1-\frac{4}{(2k+1)^2}\right).$$

Подставим предположение индукции:

$$P_{k+1}=\frac{1+2k}{1-2k}\left(1-\frac{4}{(2k+1)^2}\right).$$

Преобразуем скобку:

$$1-\frac{4}{(2k+1)^2} =\frac{(2k+1)^2-4}{(2k+1)^2} =\frac{(2k-1)(2k+3)}{(2k+1)^2}.$$

Тогда

$$P_{k+1}=\frac{1+2k}{1-2k}\cdot \frac{(2k-1)(2k+3)}{(2k+1)^2}.$$

Так как $$1+2k=2k+1$$ и $$1-2k=-(2k-1),$$ получаем

$$P_{k+1}=\frac{2k+1}{-(2k-1)}\cdot \frac{(2k-1)(2k+3)}{(2k+1)^2} =\frac{2k+3}{-(2k+1)} =\frac{1+2(k+1)}{1-2(k+1)}.$$

Следовательно, формула верна для $$k+1$$.

По принципу математической индукции

$$P_n=\frac{1+2n}{1-2n}$$

для всех натуральных $$n$$.

Ответ

$$P_n=\frac{1+2n}{1-2n}.$$