Упр.841 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) c_n=(n^2+2)/n; б) c_n=(5+(-1)^n)/n; в) c_n=2+3·(-1)^n?

а) $$c_n=\frac{n^2+2}{n}=n+\frac{2}{n}.$$

При $$n\to\infty$$ имеем $$n\to\infty$$, значит и $$c_n\to\infty$$. Следовательно, последовательность не ограничена.

б) $$c_n=\frac{5+(-1)^n}{n}=\frac{5}{n}+\frac{(-1)^n}{n}.$$

Так как $$\frac{5}{n}\to 0$$ и $$\frac{(-1)^n}{n}\to 0,$$ то $$c_n\to 0.$$ Кроме того, для всех $$n$$:

если $$n=2k-1,$$ то
$$c_n=\frac{5-1}{2k-1}=\frac{4}{2k-1}\le 4;$$

если $$n=2k,$$ то
$$c_n=\frac{5+1}{2k}=\frac{6}{2k}=\frac{3}{k}\le 3.$$

Значит, последовательность ограничена.

в) $$c_n=2+3\cdot(-1)^n.$$

Если $$n=2k-1,$$ то $$(-1)^n=-1$$ и

$$c_n=2+3\cdot(-1)= -1.$$

Если $$n=2k,$$ то $$(-1)^n=1$$ и

$$c_n=2+3\cdot 1=5.$$

Следовательно, все члены последовательности принимают только значения $$-1$$ и $$5,$$ значит она ограничена.

Ответ

а) нет; б) да; в) да.