Упр.840 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x_n=(2n^2+bn)/n^2; б) x_n=(6n-b)/(n+4)?

а) Преобразуем общий член последовательности:

$$x_n=\frac{2n^2+bn}{n^2}=2+\frac{b}{n}.$$

Найдём разность соседних членов:

$$ x_{n+1}-x_n=\left(2+\frac{b}{n+1}\right)-\left(2+\frac{b}{n}\right) =\frac{b}{n+1}-\frac{b}{n} =\frac{b(n-(n+1))}{n(n+1)} =-\frac{b}{n(n+1)}. $$

Так как $$n(n+1)>0$$ при всех натуральных $$n$$, знак разности определяется знаком $$-b$$.

Чтобы последовательность возрастала, нужно:

$$x_{n+1}-x_n>0 \;\Rightarrow\; -b>0 \;\Rightarrow\; b<0.$$

Чтобы последовательность убывала, нужно:

$$x_{n+1}-x_n<0 \;\Rightarrow\; -b<0 \;\Rightarrow\; b>0.$$

б) Преобразуем общий член последовательности:

$$x_n=\frac{6n-b}{n+4}=6-\frac{b+24}{n+4}.$$

Найдём разность соседних членов:

$$ x_{n+1}-x_n=\left(6-\frac{b+24}{n+5}\right)-\left(6-\frac{b+24}{n+4}\right) =\frac{b+24}{n+4}-\frac{b+24}{n+5}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ x_{n+1}-x_n= \frac{(b+24)(n+5)-(b+24)(n+4)}{(n+4)(n+5)} =\frac{b+24}{(n+4)(n+5)}. $$

Так как $$ (n+4)(n+5)>0 $$ при всех натуральных $$n$$, знак разности определяется знаком $$b+24$$.

Чтобы последовательность возрастала, нужно:

$$x_{n+1}-x_n>0 \;\Rightarrow\; b+24>0 \;\Rightarrow\; b>-24.$$

Чтобы последовательность убывала, нужно:

$$x_{n+1}-x_n<0 \;\Rightarrow\; b+24<0 \;\Rightarrow\; b<-24.$$

Ответ

а) возрастает при $$b<0$$, убывает при $$b>0$$.

б) возрастает при $$b>-24$$, убывает при $$b<-24$$.