Упр.840 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Постройте график функции, обратной функции: а) $$y=\frac{2}{3}x-1$$, где $$-3\leq x\leq 6$$; б) $$y=x^2$$, где $$x\geq 0$$; в) $$y=\sqrt{x}$$; г) $$y=\sqrt{-x}$$.
2. При каких значениях параметра $$b$$ последовательность $$(x_n)$$ является возрастающей и при каких — убывающей, если: а) $$x_n=\frac{2n^2+bn}{n^2}$$; б) $$x_n=\frac{6n-b}{n+4}$$?

а) Преобразуем общий член последовательности:

$$x_n=\frac{2n^2+bn}{n^2}=2+\frac{b}{n}.$$

Найдём разность соседних членов:

$$x_{n+1}-x_n=\left(2+\frac{b}{n+1}\right)-\left(2+\frac{b}{n}\right) =\frac{b}{n+1}-\frac{b}{n} =\frac{b(n-(n+1))}{n(n+1)} =-\frac{b}{n(n+1)}.$$

Так как $$n(n+1)>0$$ при всех натуральных $$n$$, знак разности определяется знаком $$-b$$.

Чтобы последовательность возрастала, нужно:

$$x_{n+1}-x_n>0 \;\Rightarrow\; -b>0 \;\Rightarrow\; b<0.$$

Чтобы последовательность убывала, нужно:

$$x_{n+1}-x_n<0 \;\Rightarrow\; -b<0 \;\Rightarrow\; b>0.$$

б) Преобразуем общий член последовательности:

$$x_n=\frac{6n-b}{n+4}=6-\frac{b+24}{n+4}.$$

Найдём разность соседних членов:

$$x_{n+1}-x_n=\left(6-\frac{b+24}{n+5}\right)-\left(6-\frac{b+24}{n+4}\right) =\frac{b+24}{n+4}-\frac{b+24}{n+5}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$x_{n+1}-x_n= \frac{(b+24)(n+5)-(b+24)(n+4)}{(n+4)(n+5)} =\frac{b+24}{(n+4)(n+5)}.$$

Так как $$(n+4)(n+5)>0$$ при всех натуральных $$n$$, знак разности определяется знаком $$b+24$$.

Чтобы последовательность возрастала, нужно:

$$x_{n+1}-x_n>0 \;\Rightarrow\; b+24>0 \;\Rightarrow\; b>-24.$$

Чтобы последовательность убывала, нужно:

$$x_{n+1}-x_n<0 \;\Rightarrow\; b+24<0 \;\Rightarrow\; b<-24.$$

Ответ

а) возрастает при $$b<0$$, убывает при $$b>0$$.

б) возрастает при $$b>-24$$, убывает при $$b<-24$$.