Упр.838 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Известно, что графику обратимой функции $$y=g(x)$$ принадлежат точки $$A(2; 8)$$ и $$B(-1000; -10)$$. Найдите координаты двух точек, которые принадлежат графику функции, обратной функции $$g$$.
2. При каких значениях $$a$$ неравенство верно при любом $$x$$:
   а) $$ax^2-6x+4>0$$;
   б) $$ax^2-4(a-1)x+2a>0$$?

а) Рассмотрим квадратный трехчлен $$ax^2-6x+4.$$

Чтобы неравенство $$ax^2-6x+4>0$$ выполнялось при любом $$x,$$ парабола должна быть направлена вверх и не иметь действительных корней, то есть

$$a>0,$$

$$D<0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-6)^2-4\cdot a\cdot 4=36-16a=4(9-4a).$$

Тогда

$$36-16a<0,$$

$$16a>36,$$

$$a>\frac94.$$

С учётом условия $$a>0$$ получаем:

$$a\in\left(\frac94;+\infty\right).$$

б) Рассмотрим квадратный трехчлен $$ax^2-4(a-1)x+2a.$$

Чтобы неравенство $$ax^2-4(a-1)x+2a>0$$ выполнялось при любом $$x,$$ нужно, чтобы

$$a>0,$$

$$D<0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=\bigl(-4(a-1)\bigr)^2-4\cdot a\cdot 2a$$

$$=16(a-1)^2-8a^2$$

$$=8(a^2-4a+2).$$

Тогда

$$a^2-4a+2<0.$$

Найдём корни уравнения

$$a^2-4a+2=0,$$

$$a=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}=\frac{4\pm\sqrt8}{2}=2\pm\sqrt2.$$

Следовательно,

$$2-\sqrt2<a<2+\sqrt2.$$

С учётом условия $$a>0$$ получаем тот же промежуток:

$$a\in(2-\sqrt2;\,2+\sqrt2).$$

Ответ

а) $$a\in\left(\frac94;+\infty\right);$$ б) $$a\in(2-\sqrt2;\,2+\sqrt2).$$