Упр.836 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 836. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии первый член составляет одну четвёртую часть от суммы всех остальных. Найдите первый член и знаменатель прогрессии, если известно, что третий член этой прогрессии равен 9.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, а $$q$$ — её знаменатель. Тогда сумма всех остальных членов равна

$$S-b_1=\frac{b_2}{1-q}=\frac{b_1q}{1-q}.$$

По условию первый член составляет одну четвёртую часть суммы остальных:

$$b_1:\left(S-b_1\right)=1:4,$$

значит

$$\frac{b_1}{\frac{b_1q}{1-q}}=\frac14.$$

Сократим на $$b_1$$:

$$\frac{1-q}{q}=\frac14,$$

$$4(1-q)=q,$$

$$4-4q=q,$$

$$5q=4,$$

$$q=\frac45.$$

Теперь используем условие $$b_3=9$$:

$$b_3=b_1q^2,$$

$$b_1\left(\frac45\right)^2=9,$$

$$b_1\cdot\frac{16}{25}=9,$$

$$b_1=9\cdot\frac{25}{16}=\frac{225}{16}=14\frac{1}{16}.$$

Ответ

$$b_1=14\frac{1}{16},\quad q=\frac45.$$