Упр.835 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Функция $$f$$ задана формулой:
а) $$y=x^2$$, где $$D(f)=[3; 7]$$;
б) $$y=5x-8$$, где $$D(f)=[-3; 12]$$;
в) $$y=x^2-1$$, где $$D(f)=[-2; 3]$$;
г) $$y=\frac{6}{x}$$, где $$D(f)=[-6; 1]$$. Является ли функция $$f$$ обратимой? В случае положительного ответа задайте функцию $$g$$, обратную функции $$f$$, формулой и укажите область её определения.
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $$64$$. Члены, стоящие на нечётных местах, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сумма которой равна $$51{,}2$$. Вычислите первые четыре члена каждой из прогрессий.

Подробный ответ

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$.

Тогда сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$\frac{b_1}{1-q}=64.$$

Сумма членов, стоящих на нечётных местах, тоже является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $$b_1$$ и знаменателем $$q^2$$:

$$\frac{b_1}{1-q^2}=51{,}2.$$

Подставим $$b_1=64(1-q)$$ во второе равенство:

$$\frac{64(1-q)}{1-q^2}=51{,}2.$$

Так как $$1-q^2=(1-q)(1+q)$$, получаем:

$$\frac{64}{1+q}=51{,}2.$$

Отсюда

$$64=51{,}2(1+q),$$

$$64=51{,}2+51{,}2q,$$

$$51{,}2q=12{,}8,$$

$$q=\frac14.$$

Теперь найдём первый член:

$$b_1=64\left(1-\frac14\right)=64\cdot\frac34=48.$$