Упр.835 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 835. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 64. Члены, стоящие на нечётных местах, образуют бесконечно убывающую геометрическую профессию, сумма которой равна 51,2. Вычислите первые четыре члена каждой из прогрессий.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$.

Тогда сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$\frac{b_1}{1-q}=64.$$

Сумма членов, стоящих на нечётных местах, тоже является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $$b_1$$ и знаменателем $$q^2$$:

$$\frac{b_1}{1-q^2}=51{,}2.$$

Подставим $$b_1=64(1-q)$$ во второе равенство:

$$\frac{64(1-q)}{1-q^2}=51{,}2.$$

Так как $$1-q^2=(1-q)(1+q)$$, получаем:

$$\frac{64}{1+q}=51{,}2.$$

Отсюда

$$64=51{,}2(1+q),$$

$$64=51{,}2+51{,}2q,$$

$$51{,}2q=12{,}8,$$

$$q=\frac14.$$

Теперь найдём первый член:

$$b_1=64\left(1-\frac14\right)=64\cdot\frac34=48.$$

Первые четыре члена прогрессии:

$$b_1=48,$$

$$b_2=b_1q=48\cdot\frac14=12,$$

$$b_3=b_2q=12\cdot\frac14=3,$$

$$b_4=b_3q=3\cdot\frac14=\frac34.$$

Члены, стоящие на нечётных местах, образуют прогрессию:

$$48,\ 3,\ \frac{3}{16},\ \frac{3}{256},\dots$$

Ответ

$$48,\ 12,\ 3,\ \frac34;\quad 48,\ 3,\ \frac{3}{16},\ \frac{3}{256}.$$