Упр.834 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 834. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма первых двух членов равна 9. Сумма последовательности, составленной из кубов ее членов, относится к сумме последовательности, составленной из квадратов её членов, как 36 : 7. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Так как прогрессия бесконечно убывающая, то $$0<q<1$$.

По условию:

$$b_1+b_2=9,$$

а сумма кубов членов прогрессии относится к сумме квадратов её членов как $$36:7$$, то есть

$$\frac{b_1^3+b_2^3+\dots}{b_1^2+b_2^2+\dots}=\frac{36}{7}.$$

Так как $$b_2=b_1q$$, получаем из первого равенства:

$$b_1+b_1q=9,$$

$$b_1(1+q)=9,$$

$$b_1=\frac{9}{1+q}.$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом $$b_1^k$$ и знаменателем $$q^k$$ равна $$\frac{b_1^k}{1-q^k}$$, поэтому

$$\frac{b_1^3}{1-q^3} \Big/ \frac{b_1^2}{1-q^2}=\frac{36}{7}.$$

Упростим:

$$\frac{b_1(1-q^2)}{1-q^3}=\frac{36}{7},$$

$$\frac{b_1(1-q)(1+q)}{(1-q)(1+q+q^2)}=\frac{36}{7},$$

$$\frac{b_1(1+q)}{1+q+q^2}=\frac{36}{7}.$$

Подставим $$b_1(1+q)=9$$:

$$\frac{9}{1+q+q^2}=\frac{36}{7},$$

$$63=36(1+q+q^2),$$

$$7=4(1+q+q^2),$$

$$4q^2+4q-3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64,$$

$$q=\frac{-4\pm 8}{8}.$$

Получаем:

$$q_1=\frac12,\qquad q_2=-\frac32.$$

Так как прогрессия бесконечно убывающая, подходит только $$q=\frac12$$.

Тогда

$$b_1=\frac{9}{1+\frac12}=\frac{9}{\frac32}=6.$$

Ответ

$$b_1=6,\quad q=\frac12.$$