Упр.833 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 833. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (b_n) равна 3, а сумма последовательности, составленной из квадратов ее членов, равна 1,8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии (b_n).

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}=3,$$

откуда

$$b_1=3(1-q).$$

Сумма квадратов членов прогрессии тоже является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$b_1^2+b_2^2+b_3^2+\dots=\frac{b_1^2}{1-q^2}=1{,}8.$$

Подставим $b_1=3(1-q)$:

$$\frac{9(1-q)^2}{1-q^2}=1{,}8.$$

Так как $$1-q^2=(1-q)(1+q),$$ то при $q\neq 1$ получаем

$$\frac{9(1-q)}{1+q}=1{,}8.$$

Умножим на $1+q$:

$$9(1-q)=1{,}8(1+q),$$

$$9-9q=1{,}8+1{,}8q,$$

$$7{,}2=10{,}8q,$$

$$q=\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$b_1=3\left(1-\frac{2}{3}\right)=1.$$

Ответ

$$b_1=1,\quad q=\frac{2}{3}.$$