Упр.832 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 832. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член относится к сумме последующих членов как 3 : 5.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Тогда сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

По условию каждый член относится к сумме последующих как $$3:5$$. Для первого члена это означает:

$$b_1 : (S-b_1)=\frac{3}{5}.$$

Подставим формулу суммы:

$$b_1 : \left(\frac{b_1}{1-q}-b_1\right)=\frac{3}{5}.$$

Упростим выражение в скобках:

$$\frac{b_1}{1-q}-b_1=\frac{b_1q}{1-q}.$$

Тогда

$$b_1 : \frac{b_1q}{1-q}=\frac{3}{5}.$$

Сократим на $$b_1$$:

$$\frac{1-q}{q}=\frac{3}{5}.$$

Решим уравнение:

$$5(1-q)=3q$$

$$5-5q=3q$$

$$8q=5$$

$$q=\frac{5}{8}.$$

Ответ

$$\frac{5}{8}$$