Упр.831 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 831. В квадрат, со стороной равной а, вписан круг, в этот круг вписан квадрат, в полученный квадрат снова вписан круг и т. д. Найдите сумму: а) периметров квадратов; б) площадей квадратов; в) длин окружностей; г) площадей кругов.
Последовательности периметров квадратов, площадей квадратов, длин окружностей и площадей кругов являются геометрическими прогрессиями.
Для квадратов: сторона каждого следующего квадрата уменьшается в $$\sqrt{2}$$ раза, значит, и соответствующие величины образуют геометрические прогрессии с знаменателем $$q=\frac{1}{\sqrt{2}}$$.
Для кругов радиус каждого следующего круга также уменьшается в $$\sqrt{2}$$ раза, поэтому для длин окружностей и площадей кругов получаем тот же знаменатель $$q=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ для длин и $$q=\frac{1}{2}$$ для площадей.
а) Сумма периметров квадратов
$$P_1=4a,\qquad P_2=\frac{4a}{\sqrt{2}}=2a\sqrt{2}$$
$$q=\frac{P_2}{P_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
$$S=\frac{P_1}{1-q}=\frac{4a}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=4a(2+\sqrt{2})$$
б) Сумма площадей квадратов
$$S_1=a^2,\qquad S_2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{a^2}{2}$$
$$q=\frac{S_2}{S_1}=\frac{1}{2}$$
$$S=\frac{S_1}{1-q}=\frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}=2a^2$$
в) Сумма длин окружностей
$$C_1=\pi a,\qquad C_2=\frac{\pi a}{\sqrt{2}}$$
$$q=\frac{C_2}{C_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$S=\frac{C_1}{1-q}=\frac{\pi a}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\pi a(2+\sqrt{2})$$
г) Сумма площадей кругов
$$S_1=\frac{\pi a^2}{4},\qquad S_2=\pi\left(\frac{a}{2\sqrt{2}}\right)^2=\frac{\pi a^2}{8}$$
$$q=\frac{S_2}{S_1}=\frac{1}{2}$$
$$S=\frac{S_1}{1-q}=\frac{\frac{\pi a^2}{4}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\pi a^2}{2}$$
Ответ
а) $$4a(2+\sqrt{2})$$; б) $$2a^2$$; в) $$\pi a(2+\sqrt{2})$$; г) $$\frac{\pi a^2}{2}$$.
