Упр.830 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 830. В равносторонний треугольник со стороной 12 см вписан треугольник, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника. В полученный треугольник таким же способом вписан третий треугольник и т. д. Найдите сумму периметров и сумму площадей этих треугольников.

Стороны вписанных равносторонних треугольников образуют геометрическую прогрессию:

$$a_1=12,\quad a_{n+1}=\frac12 a_n,\quad q=\frac12.$$

Тогда периметры этих треугольников тоже образуют геометрическую прогрессию:

$$P_1=3\cdot 12=36,\quad q=\frac12.$$

Сумма всех периметров:

$$S_P=\frac{P_1}{1-q}=\frac{36}{1-\frac12}=72\text{ см}.$$

Площади равносторонних треугольников пропорциональны квадратам их сторон, значит их площади образуют геометрическую прогрессию с знаменателем

$$q_S=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

Первая площадь:

$$S_1=\frac{12^2\sqrt3}{4}=36\sqrt3\text{ см}^2.$$

Сумма всех площадей:

$$S=\frac{S_1}{1-q_S}=\frac{36\sqrt3}{1-\frac14}=48\sqrt3\text{ см}^2.$$

Ответ

$$72\text{ см},\quad 48\sqrt3\text{ см}^2.$$