Упр.829 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите сумму первых пяти членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, второй член которой равен $$\frac{1}{3}$$, а отношение суммы последовательности, составленной из квадратов её членов, к сумме этой последовательности равно $$\frac{3}{4}$$.
2. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $$18$$, а сумма первых трёх её членов равна $$12\frac{2}{3}$$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}=18,$$

откуда

$$b_1=18(1-q).$$

Сумма первых трёх членов:

$$b_1+b_2+b_3=12\frac{2}{3}=\frac{38}{3}.$$

Так как $$b_2=b_1q,$$ $$b_3=b_1q^2,$$ то

$$b_1(1+q+q^2)=\frac{38}{3}.$$

Подставим $$b_1=18(1-q)$$:

$$18(1-q)(1+q+q^2)=\frac{38}{3}.$$

Умножим на 3:

$$54(1-q)(1+q+q^2)=38.$$

Используем формулу $$(1-q)(1+q+q^2)=1-q^3$$:

$$54(1-q^3)=38,$$

$$1-q^3=\frac{19}{27},$$

$$q^3=\frac{8}{27},$$

$$q=\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$b_1=18\left(1-\frac{2}{3}\right)=6.$$

Ответ

$$b_1=6,\quad q=\frac{2}{3}.$$