Упр.827 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Даны последовательности $$(a_n)$$, $$(b_n)$$, $$(c_n)$$, где $$a_n=\frac{2}{n+1}$$, $$b_n=\frac{1}{n}$$, $$c_n=\frac{a_n}{b_n}$$. Найдите $$\lim_{n > ?} a_n$$, $$\lim_{n > ?} b_n$$, $$\lim_{n > ?} c_n$$, если они существуют.
2. Представьте число в виде обыкновенной дроби и сделайте проверку, выполняя деление числителя обыкновенной дроби на её знаменатель: а) $$0,(6)$$; б) $$0,(16)$$; в) $$0,2(3)$$; г) $$0,12(5)$$.

1. $$0,(6)=0,6+0,06+0,006+\dots$$

   Это бесконечная геометрическая прогрессия, где $$b_1=0,6$$, $$q=0,1$$.

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,6}{1-0,1}=\frac{0,6}{0,9}=\frac{2}{3}.$$

2. $$0,(16)=0,16+0,0016+0,000016+\dots$$

   Здесь $$b_1=0,16$$, $$q=0,01$$.

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,16}{1-0,01}=\frac{0,16}{0,99}=\frac{16}{99}.$$

3. $$0,2(3)=0,2+0,03+0,003+\dots$$

   После запятой периодическая часть начинается с $$0,03$$, поэтому

   $$0,2(3)=0,2+\frac{0,03}{1-0,1}=0,2+\frac{0,03}{0,9}.$$

   $$0,2=\frac{1}{5}, \qquad \frac{0,03}{0,9}=\frac{1}{30}.$$

   Следовательно,

   $$S=\frac{1}{5}+\frac{1}{30}=\frac{7}{30}.$$

4. $$0,12(5)=0,12+0,005+0,0005+\dots$$

   Здесь $$b_1=0,005$$, $$q=0,1$$.

   Тогда

   $$0,12(5)=0,12+\frac{0,005}{1-0,1}=0,12+\frac{0,005}{0,9}.$$

   $$0,12=\frac{3}{25}, \qquad \frac{0,005}{0,9}=\frac{1}{180}.$$

   Следовательно,

   $$S=\frac{3}{25}+\frac{1}{180}=\frac{113}{900}.$$

Ответ

а) $$\frac{2}{3}$$; б) $$\frac{16}{99}$$; в) $$\frac{7}{30}$$; г) $$\frac{113}{900}$$.