Упр.825 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Верно ли, что предел последовательности $$\left(u_n\right)$$ равен нулю, если:
а) $$u_n=\frac{1}{6^n}$$;
б) $$u_n=\frac{(-1)^n}{n+6}$$;
в) $$u_n=(-1)^n 3+3$$?
В бесконечно убывающей геометрической прогрессии $$\left(a_n\right)$$ найдите:
а) $$S$$, если $$a_1=-56$$, $$q=0{,}2$$;
в) $$a_1$$, если $$S=28$$, $$q=-0{,}5$$;
б) $$S$$, если $$a_1=\sqrt{3}$$, $$q=\frac{\sqrt{3}}{3}$$;
г) $$a_1$$, если $$S=2\sqrt{2}$$, $$q=\frac{3}{4}$$.
Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма вычисляется по формуле
$$S=\frac{a_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$
$$a_1=-56,\quad q=0{,}2.$$
$$S=\frac{-56}{1-0{,}2}=\frac{-56}{0{,}8}=-70.$$
$$a_1=-\sqrt{3},\quad q=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
$$S=\frac{-\sqrt{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{-3\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}.$$
Рационализуем знаменатель:
$$S=\frac{-3\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{-3\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{9-3}=-\frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}.$$
$$S=28,\quad q=-0{,}5.$$
Из формулы $$S=\frac{a_1}{1-q}$$ получаем
$$a_1=S(1-q)=28(1-(-0{,}5))=28\cdot 1{,}5=42.$$
$$S=2\sqrt{2},\quad q=\frac{3}{4}.$$
Тогда
$$a_1=S(1-q)=2\sqrt{2}\left(1-\frac{3}{4}\right)=2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Ответ
а) $$-70$$; б) $$-\frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}$$; в) $$42$$; г) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$.
