Упр.824 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

(x-a)(x-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c)=0 имеет корни.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$$ (x-a)(x-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c)=0 $$

$$ x^2-(a+b)x+ab+x^2-(a+c)x+ac+x^2-(b+c)x+bc=0 $$

$$ 3x^2-2(a+b+c)x+(ab+ac+bc)=0. $$

Это квадратное уравнение. Докажем, что его дискриминант неотрицателен:

$$ D=[-2(a+b+c)]^2-4\cdot 3\,(ab+ac+bc) $$

$$ =4\bigl((a+b+c)^2-3(ab+ac+bc)\bigr) $$

$$ =4\bigl(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\bigr). $$

Преобразуем выражение в скобках:

$$ a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc =\frac12\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\bigr)\ge 0. $$

Значит,

$$ D\ge 0, $$

следовательно, уравнение имеет действительные корни при любых $a$, $b$ и $c$.

Ответ

Уравнение имеет корни при любых $a$, $b$ и $c$, так как его дискриминант неотрицателен: $$D=4(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\ge 0.$$