Упр.822 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (n > ?)lim((n-1)/v(4n^2+2))=1/2;
б) (n > ?)lim(v((n+2)(n-1))-n)=1/2.

а) Преобразуем выражение, вынеся $n^2$ из-под корня:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{\sqrt{4n^2+2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{1}{n}}{\sqrt{4+\frac{2}{n^2}}} $$

При $n\to\infty$ имеем $\frac{1}{n}\to 0$ и $\frac{2}{n^2}\to 0$, значит

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{1}{n}}{\sqrt{4+\frac{2}{n^2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}. $$

б) Рационализуем выражение:

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{(n+2)(n-1)}-n\right) = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)(n-1)-n^2}{\sqrt{(n+2)(n-1)}+n} $$

$$ = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2-n+2n-2-n^2}{\sqrt{n^2+n-2}+n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n-2}{\sqrt{n^2+n-2}+n}. $$

Делим числитель и знаменатель на $n$:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ \text{а) } \frac{1}{2}; \qquad \text{б) } \frac{1}{2}. $$