Упр.821 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Сколько членов геометрической прогрессии $$0{,}1;\ 0{,}2;\ 0{,}4;\ \ldots$$ надо сложить, чтобы полученная сумма была: а) равна $$51{,}1$$; б) больше $$10$$, но меньше $$40$$?
2. Чему равен предел: а) $$\lim_{n > ?}\left(\frac{1}{n}+\frac{3n+1}{2n-1}\right)$$; в) $$\lim_{n > ?}\left(\frac{2n-1}{n^2+n-2}-\frac{1}{n-1}\right)$$; б) $$\lim_{n > ?}\frac{(n+3)(2n-1)}{n^2-n+2}$$; г) $$\lim_{n > ?}\frac{(n-1)^3+(2-n)^3}{n^2-n+2}$$?

Найдём пределы, выделяя в числителе и знаменателе старшие степени n.

а)

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{3n+1}{2n-1}\right) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{3+\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n}}\right)$$

При $$n\to\infty$$ имеем $$\frac{1}{n}\to 0$$, поэтому
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{3n+1}{2n-1}\right)=0+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$$

б)

$$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+3)(2n-1)}{n^2-n+2} = \lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{3}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right)}{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}$$

Тогда
$$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+3)(2n-1)}{n^2-n+2} = \frac{1\cdot 2}{1}=2.$$

в)

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n-1}{n^2+n-2}-\frac{1}{n-1}\right) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}}-\frac{\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n}}\right)$$

Обе дроби стремятся к нулю, значит
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n-1}{n^2+n-2}-\frac{1}{n-1}\right)=0.$$

г)

$$\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)^3+(2-n)^3}{n^2-n+2}$$

Так как $$2-n=-(n-2)$$, то
$$(n-1)^3+(2-n)^3=(n-1)^3-(n-2)^3.$$
Раскроем кубы:
$$(n-1)^3=n^3-3n^2+3n-1,$$
$$(n-2)^3=n^3-6n^2+12n-8.$$
Тогда
$$(n-1)^3-(n-2)^3=3n^2-9n+7.$$
Следовательно,
$$\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)^3+(2-n)^3}{n^2-n+2} = \lim_{n\to\infty}\frac{3n^2-9n+7}{n^2-n+2} = \lim_{n\to\infty}\frac{3-\frac{9}{n}+\frac{7}{n^2}}{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}} =3.$$

Ответ

а) $$\frac{3}{2}$$; б) $$2$$; в) $$0$$; г) $$3$$.