Упр.821 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (n > ?)lim(1/n+(3n+1)/(2n-1)); в) (n > ?)lim((2n-1)/(n^2+n-2)-1/(n-1));
б) (n > ?)lim((n+3)(2n-1)/(n^2-n+2)); г) (n > ?)lim(((n-1)^3+(2-n)^3)/(n^2-n+2))?

Подробный ответ

Найдём пределы, выделяя в числителе и знаменателе старшие степени n.

а)

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{3n+1}{2n-1}\right) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{3+\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n}}\right) $$

При $$n\to\infty$$ имеем $$\frac{1}{n}\to 0$$, поэтому
$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{3n+1}{2n-1}\right)=0+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}. $$

б)

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{(n+3)(2n-1)}{n^2-n+2} = \lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{3}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right)}{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}} $$

Тогда
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{(n+3)(2n-1)}{n^2-n+2} = \frac{1\cdot 2}{1}=2. $$

в)

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n-1}{n^2+n-2}-\frac{1}{n-1}\right) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}}-\frac{\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n}}\right) $$

Обе дроби стремятся к нулю, значит
$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n-1}{n^2+n-2}-\frac{1}{n-1}\right)=0. $$

г)

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)^3+(2-n)^3}{n^2-n+2} $$

Так как $$2-n=-(n-2)$$, то
$$ (n-1)^3+(2-n)^3=(n-1)^3-(n-2)^3. $$
Раскроем кубы:
$$ (n-1)^3=n^3-3n^2+3n-1, $$
$$ (n-2)^3=n^3-6n^2+12n-8. $$
Тогда
$$ (n-1)^3-(n-2)^3=3n^2-9n+7. $$
Следовательно,
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)^3+(2-n)^3}{n^2-n+2} = \lim_{n\to\infty}\frac{3n^2-9n+7}{n^2-n+2} = \lim_{n\to\infty}\frac{3-\frac{9}{n}+\frac{7}{n^2}}{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}} =3. $$