Упр.820 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что если числа $$a, b, c, d$$ составляют геометрическую прогрессию, то:
   а) $$(a-c)^2+(b-c)^2=(a-d)^2+(b-d)^2$$;
   б) $$(a^2+b^2+c^2)(a^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2$$.
2. Вычислите предел последовательности:
   а) $$\lim_{n > ?}\frac{2n-1}{n^2-n+2}$$;
   в) $$\lim_{n > ?}\frac{n}{3n^2+1}$$;
   б) $$\lim_{n > ?}\frac{-n^2-3n-1}{n^2-2n-1}$$;
   г) $$\lim_{n > ?}\frac{n^3+3n^2-1}{2n^3-n+3}$$.

Найдём пределы, разделив числитель и знаменатель на наибольшую степень n в каждом выражении.

1. $$\lim_{n\to\infty}\frac{2n-1}{n^2-n+2} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}$$
   При $$n\to\infty$$ числитель стремится к $$0$$, знаменатель — к $$1$$. Значит,
   $$\lim_{n\to\infty}\frac{2n-1}{n^2-n+2}=0.$$

2. $$\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2-3n-1}{n^2-2n-1} =\lim_{n\to\infty}\frac{-1-\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}}{1-\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}$$
   Тогда
   $$\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2-3n-1}{n^2-2n-1}=-1.$$

3. $$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3n^2+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{3+\frac{1}{n^2}}$$
   Числитель стремится к $$0$$, знаменатель — к $$3$$, значит
   $$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3n^2+1}=0.$$

4. $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+3n^2-1}{2n^3-n+3} =\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^3}}{2-\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n^3}}$$
   Получаем
   $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+3n^2-1}{2n^3-n+3}=\frac{1}{2}.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$-1$$; в) $$0$$; г) $$\frac{1}{2}$$.