Упр.817 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) положительное число; б) число 0?

Пусть $$a_n<0$$ при всех $$n\in \mathbb{N}$$ и последовательность сходится.

а) Предположим, что предел последовательности положителен: $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=b>0.$$ Тогда по определению предела все члены последовательности, начиная с некоторого номера, должны быть сколь угодно близки к числу $$b$$, а значит, и положительными. Это противоречит условию $$a_n<0$$ для всех $$n$$.

Следовательно, пределом такой последовательности положительное число быть не может.

б) Число $$0$$ может быть пределом. Например, если $$a_n=-\dfrac{1}{n},$$ то для всех $$n$$ выполняется $$a_n<0,$$ а

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(-\dfrac{1}{n}\right)=0.$$

Значит, пределом может быть число $$0$$.

Ответ

а) нет; б) да.