Упр.814 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Между числами $$\frac{a}{b^2}$$ и $$\frac{b}{a^2}$$, где $$a>0$$, $$b>0$$, вставьте пять чисел, которые вместе с данными числами составят геометрическую прогрессию.
2. Докажите, что если $$(x_n)$$ — последовательность десятичных дробей, которые получаются, если в бесконечной периодической десятичной дроби $$0,(3)$$ оставлять одну, две, три и т. д. цифры после запятой, то $$(n > ?)\lim(x_n)=\frac{1}{3}$$.

Рассмотрим последовательность

$$x_1=0,3,\quad x_2=0,33,\quad x_3=0,333,\quad \ldots$$

Каждый следующий член получается прибавлением очередной цифры 3 после запятой, поэтому разности соседних членов равны:

$$x_1=0,3,$$

$$x_2-x_1=0,03,$$

$$x_3-x_2=0,003,$$

и вообще

$$x_n=0,3+0,03+0,003+\cdots+0,\underbrace{00\ldots 03}_{n\text{ цифр после запятой}}.$$

Это сумма первых $$n$$ членов геометрической прогрессии с первым членом $$b_1=0,3$$ и знаменателем $$q=0,1.$$

Тогда

$$x_n=S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{0,3(1-0,1^n)}{1-0,1}.$$

Найдём предел:

$$\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{0,3(1-0,1^n)}{0,9}=\frac{0,3}{0,9}=\frac13.$$

Значит, последовательность сходится к числу $$\frac13.$$

Ответ

$$\lim_{n\to\infty} x_n=\frac13.$$