Упр.813 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 1, 1/2, 1/4, …, 1/2^(n-1), …; г) -1, 1, -1, 1, …, (-1)^n, …;
б) 1, 3/2, 5/3, …, (2n-1)/n, …; д) -1/2, 2/3, -3/4, …, (-1)^n n/(n+1), …;
в) 1/3, 3/2, 5/2, …, (2n-1)/2, …; е) 1, 1/(1·2), 1/(1·2·3), …, 1//(1·2·3·…·n), …?

1. $$a_n=\frac{1}{2^{\,n-1}}.$$

   Тогда

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{\,n-1}}=0,$$

   так как знаменатель неограниченно возрастает.

2. $$a_n=\frac{2n-1}{n}=2-\frac{1}{n}.$$

   Следовательно,

   $$\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{n}\right)=2.$$

3. $$a_n=\frac{2n-1}{2}=n-\frac{1}{2}.$$

   Последовательность неограниченно возрастает, значит, предела не имеет.

4. $$a_n=(-1)^n.$$

   Значения последовательности чередуются: $$-1,\,1,\,-1,\,1,\dots$$ Поэтому предел не существует.

5. $$a_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}=(-1)^n\cdot \frac{n}{n+1}=(-1)^n\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{n}}.$$

   Так как $$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\to 1,$$ а множитель $$(-1)^n$$ не имеет предела, то и вся последовательность предела не имеет.

6. $$a_n=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}=\frac{1}{n!}.$$

   При $$n\to\infty$$ знаменатель растёт, поэтому

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n!}=0.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$2$$; в) предела не существует; г) предела не существует; д) предела не существует; е) $$0$$.