Упр.811 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

3/2, 2/3, 5/4, 4/5, 7/6, …, 1-(-1)^n/(n+1).

Рассмотрим общий член последовательности:

$$a_n=1-\frac{(-1)^n}{n+1}.$$

Докажем, что $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=1.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$n=2k$$, то

$$a_{2k}=1-\frac{(-1)^{2k}}{2k+1}=1-\frac{1}{2k+1}.$$

Тогда

$$\lim\limits_{k\to\infty} a_{2k}=\lim\limits_{k\to\infty}\left(1-\frac{1}{2k+1}\right)=1.$$

2) Если $$n=2k-1$$, то

$$a_{2k-1}=1-\frac{(-1)^{2k-1}}{2k}=1+\frac{1}{2k}.$$

Тогда

$$\lim\limits_{k\to\infty} a_{2k-1}=\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{2k}\right)=1.$$

Оба подпоследовательности имеют один и тот же предел, значит, и вся последовательность имеет предел, равный 1.

Ответ

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{(-1)^n}{n+1}\right)=1.$$