Упр.809 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. В последовательности $$1, 3, 8, 16, \ldots, b_n, \ldots$$ разности последующего и предыдущего членов составляют арифметическую прогрессию. Найдите $$b_{10}$$.
2. Вычислите первые шесть членов последовательности $$(a_n)$$, заданной формулой $$a_n=\frac{2n+1}{n}$$, и изобразите их на координатной прямой. Какое предположение о пределе последовательности $$(a_n)$$ можно сделать? Проведите доказательство.

Преобразуем общий член последовательности:

$$a_n=\frac{2n+1}{n}=2+\frac{1}{n}.$$

Найдём первые шесть членов:

$$a_1=2+\frac{1}{1}=3,$$

$$a_2=2+\frac{1}{2}=2\frac{1}{2},$$

$$a_3=2+\frac{1}{3}=2\frac{1}{3},$$

$$a_4=2+\frac{1}{4}=2\frac{1}{4},$$

$$a_5=2+\frac{1}{5}=2\frac{1}{5},$$

$$a_6=2+\frac{1}{6}=2\frac{1}{6}.$$

Все эти числа больше 2 и с ростом $$n$$ убывают, приближаясь к 2. Поэтому можно предположить, что предел последовательности равен 2.

Докажем это:

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=2+0=2.$$

Ответ

$$a_1=3,\ a_2=2\frac{1}{2},\ a_3=2\frac{1}{3},\ a_4=2\frac{1}{4},\ a_5=2\frac{1}{5},\ a_6=2\frac{1}{6};$$

$$\lim_{n\to\infty} a_n=2.$$