Упр.808 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 808. Дана последовательность (x_n), где x_n=(3n-1)/n. Вычислите x_1, x_2, x_3, x_4. К какому числу стремится последовательность? Проведите доказательство.

Преобразуем общий член последовательности:

$$x_n=\frac{3n-1}{n}=3-\frac{1}{n}.$$

Найдём первые четыре члена:

$$x_1=3-\frac{1}{1}=2,$$

$$x_2=3-\frac{1}{2}=2\frac{1}{2},$$

$$x_3=3-\frac{1}{3}=2\frac{2}{3},$$

$$x_4=3-\frac{1}{4}=2\frac{3}{4}.$$

Теперь найдём предел последовательности:

$$\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=3-0=3.$$

Значит, последовательность стремится к числу $3$.

Ответ

$$x_1=2,\quad x_2=2\frac{1}{2},\quad x_3=2\frac{2}{3},\quad x_4=2\frac{3}{4};\quad \lim_{n\to\infty}x_n=3.$$