Упр.806 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что если числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ составляют арифметическую прогрессию, то:
   а) $$3(a^2+b^2+c^2)-6(a+b)^2=(a+b+c)^2$$;
   б) $$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)=\frac{1}{4}(c-a)^2$$.
2. При каком $$x$$ двучлен $$2x^2+6x$$ принимает наименьшее значение и чему равно это значение?

Рассмотрим функцию $$y=2x^2+6x.$$ Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, значит, она имеет наименьшее значение в вершине.

Найдём абсциссу вершины:

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2\cdot 2}=\frac{-6}{4}=-1{,}5.$$

Подставим это значение в выражение:

$$y_{\min}=2\cdot(-1{,}5)^2+6\cdot(-1{,}5)=2\cdot 2{,}25-9=4{,}5-9=-4{,}5.$$

Следовательно, наименьшее значение двучлена достигается при $$x=-1{,}5$$ и равно $$-4{,}5.$$

Ответ

$$x=-1{,}5,\quad y_{\min}=-4{,}5.$$