Упр.804 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 804. Три числа, сумма которых равна 15,6, являются первыми тремя членами геометрической прогрессии и одновременно вторым, четырнадцатым и пятидесятым членами арифметической прогрессии. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии.

Пусть первые три члена геометрической прогрессии равны $$b_1,\; b_2,\; b_3,$$ а соответствующая арифметическая прогрессия имеет вид $$a_2,\; a_{14},\; a_{50}.$$

По условию:

$$b_1+b_2+b_3=15{,}6.$$

Так как эти числа являются вторым, четырнадцатым и пятидесятым членами арифметической прогрессии, то

$$a_{14}=a_2+12d,\qquad a_{50}=a_2+48d.$$

Следовательно,

$$\frac{a_{14}-a_2}{a_{50}-a_2}=\frac{12d}{48d}=\frac14.$$

Но $$a_2=b_1,\; a_{14}=b_2,\; a_{50}=b_3,$$ значит

$$\frac{b_2-b_1}{b_3-b_1}=\frac14.$$

Пусть знаменатель геометрической прогрессии равен $$q.$$ Тогда

$$b_2=b_1q,\qquad b_3=b_1q^2.$$

Подставим:

$$\frac{b_1q-b_1}{b_1q^2-b_1}=\frac14,$$

$$\frac{q-1}{q^2-1}=\frac14,$$

$$\frac{q-1}{(q-1)(q+1)}=\frac14,$$

$$\frac1{q+1}=\frac14,$$

$$q+1=4,\qquad q=3.$$

Теперь найдём первый член геометрической прогрессии:

$$b_1+b_1q+b_1q^2=15{,}6,$$

$$b_1+3b_1+9b_1=15{,}6,$$

$$13b_1=15{,}6,$$

$$b_1=1{,}2.$$

Сумма первых шести членов геометрической прогрессии:

$$S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\frac{1{,}2(3^6-1)}{3-1}.$$

$$S_6=\frac{1{,}2(729-1)}{2}=\frac{1{,}2\cdot 728}{2}=436{,}8.$$

Ответ

$$436{,}8$$