Упр.803 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 803. Если из первых четырёх членов геометрической прогрессии вычесть соответственно 0,5, 1, 4, 12, то получатся первые четыре члена арифметической прогрессии. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести её членов.

Обозначим первый член геометрической прогрессии через $$b_1$$, а знаменатель — через $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

После вычитания из этих членов чисел $$0{,}5,\ 1,\ 4,\ 12$$ получаем первые четыре члена арифметической прогрессии:

$$a_1=b_1-0{,}5,\quad a_2=b_2-1,\quad a_3=b_3-4,\quad a_4=b_4-12.$$

Для арифметической прогрессии разности соседних членов равны:

$$a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3.$$

Составим два равенства:

$$\bigl(b_2-1\bigr)-\bigl(b_1-0{,}5\bigr)=\bigl(b_4-12\bigr)-\bigl(b_3-4\bigr),$$

откуда

$$b_2-b_1-b_4+b_3=-7{,}5;$$

и

$$\bigl(b_2-1\bigr)-\bigl(b_1-0{,}5\bigr)=\bigl(b_3-4\bigr)-\bigl(b_2-1\bigr),$$

откуда

$$2b_2-b_1-b_3=-2{,}5.$$

Подставим $$b_2=b_1q,\ b_3=b_1q^2,\ b_4=b_1q^3$$:

$$b_1q-b_1-b_1q^3+b_1q^2=-7{,}5,$$

$$2b_1q-b_1-b_1q^2=-2{,}5.$$

Разделим первое равенство на второе:

$$\frac{q-1-q^3+q^2}{2q-1-q^2}=3.$$

Преобразуем:

$$q-1-q^3+q^2=6q-3-3q^2,$$

$$q^3-4q^2+5q-2=0,$$

$$q^3-3q^2+2q-q^2+3q-2=0,$$

$$q(q^2-3q+2)-(q^2-3q+2)=0,$$

$$ (q-1)(q^2-3q+2)=0,$$

$$ (q-1)^2(q-2)=0.$$

Так как $$q\neq 1$$, получаем

$$q=2.$$

Теперь найдём $$b_1$$ из равенства

$$2b_1q-b_1-b_1q^2=-2{,}5.$$

Подставим $$q=2$$:

$$4b_1-b_1-4b_1=-2{,}5,$$

$$-b_1=-2{,}5,$$

$$b_1=2{,}5.$$

Сумма первых шести членов геометрической прогрессии:

$$S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\frac{2{,}5(2^6-1)}{2-1}=2{,}5\cdot 63=157{,}5.$$

Ответ

$$q=2,\quad S_6=157{,}5.$$