Упр.802 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 802. Сумма первых трёх членов возрастающей геометрической прогрессии равна 10,5, а произведение их квадратов равно 729. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$

По условию:

$$b_1+b_1q+b_1q^2=10{,}5,$$

$$b_1^2\cdot b_2^2\cdot b_3^2=729.$$

Из второго равенства получаем:

$$b_1^2\cdot (b_1q)^2\cdot (b_1q^2)^2=729,$$

$$b_1^6q^6=729,$$

$$\left(b_1q\right)^6=729,$$

$$b_1q=3,$$

так как прогрессия возрастающая, значит $$b_1>0$$ и $$q>1$$.

Тогда

$$b_1=\frac{3}{q}.$$

Подставим в первое равенство:

$$\frac{3}{q}+3+3q=10{,}5.$$

Умножим на $$q$$:

$$3+3q+3q^2=10{,}5q,$$

$$6q^2-15q+6=0,$$

$$2q^2-5q+2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=25-16=9,$$

$$q=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$q_1=\frac{1}{2},\quad q_2=2.$$

Так как прогрессия возрастающая, то $$q>1$$, значит $$q=2$$.

Тогда

$$b_1=\frac{3}{2}=1{,}5.$$

Найдём сумму первых семи членов:

$$S_7=\frac{b_1(q^7-1)}{q-1}=\frac{1{,}5(2^7-1)}{2-1}=1{,}5\cdot 127=190{,}5.$$

Ответ

$$190{,}5$$