Упр.801 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 801. Сумма первых трёх членов возрастающей геометрической прогрессии равна 1,4, а их произведение равно 0,064. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$

По условию

$$b_1+b_2+b_3=1{,}4,$$

$$b_1b_2b_3=0{,}064.$$

Из второго равенства получаем:

$$b_1\cdot b_1q\cdot b_1q^2=0{,}064,$$

$$b_1^3q^3=0{,}064,$$

$$\left(b_1q\right)^3=0{,}064,$$

$$b_1q=0{,}4.$$

Значит, $$b_2=0{,}4$$, а также

$$b_1=\frac{0{,}4}{q}.$$

Подставим в первое равенство:

$$\frac{0{,}4}{q}+0{,}4+0{,}4q=1{,}4.$$

Умножим на $$q$$:

$$0{,}4+0{,}4q+0{,}4q^2=1{,}4q,$$

$$0{,}4q^2-q+0{,}4=0.$$

Умножим на 5:

$$2q^2-5q+2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=25-16=9,$$

$$q=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Получаем $$q_1=\frac12$$ и $$q_2=2$$. Так как прогрессия возрастающая, то $$q>1$$, значит

$$q=2.$$

Тогда

$$b_1=\frac{0{,}4}{2}=0{,}2.$$

Найдём сумму первых пяти членов:

$$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{0{,}2(2^5-1)}{2-1}=0{,}2\cdot 31=6{,}2.$$

Ответ

$$6{,}2$$