Упр.800 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 800. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором S_n=63.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

Из условия:

$$b_1+b_2=48,$$

$$b_3+b_4=12.$$

Тогда

$$b_1(1+q)=48,$$

$$b_1q^2(1+q)=12.$$

Разделим второе равенство на первое:

$$q^2=\frac{12}{48}=\frac14,$$

так как все члены прогрессии положительны, то $$q>0$$, значит

$$q=\frac12.$$

Найдём первый член:

$$b_1(1+\frac12)=48,$$

$$b_1\cdot \frac32=48,$$

$$b_1=32.$$

Теперь используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}.$$

Подставим найденные значения:

$$63=\frac{32(1-(\frac12)^n)}{1-\frac12}.$$

$$63=64\left(1-\left(\frac12\right)^n\right).$$

$$64-64\left(\frac12\right)^n=63,$$

$$64\left(\frac12\right)^n=1,$$

$$\left(\frac12\right)^n=\frac1{64}=\left(\frac12\right)^6.$$

Следовательно, $$n=6$$.

Ответ

$$6$$