Упр.8 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) y=|x-3|-1; в) y=x^2-4;
б) y=4-|x+2|; г) y=x^(-2).

1. а) $$y=|x-3|-1$$

   Нули функции найдём из уравнения:

   $$|x-3|-1=0$$

   $$|x-3|=1$$

   $$x-3=-1,\quad x-3=1$$

   $$x=2,\quad x=4$$

   Значит, нули функции: $$x=2$$ и $$x=4$$.

   Так как $$|x-3|-1>0$$ вне промежутка между нулями, то

   $$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty),$$

   $$y<0 \text{ при } x\in(2;4).$$

   Функция убывает до вершины графика и возрастает после неё:

   $$y \text{ убывает при } x\in(-\infty;3],$$

   $$y \text{ возрастает при } x\in[3;+\infty).$$

2. б) $$y=4-|x+2|$$

   Нули функции:

   $$4-|x+2|=0$$

   $$|x+2|=4$$

   $$x+2=-4,\quad x+2=4$$

   $$x=-6,\quad x=2$$

   Значит, нули функции: $$x=-6$$ и $$x=2$$.

   Промежутки знакопостоянства:

   $$y>0 \text{ при } x\in(-6;2),$$

   $$y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-6)\cup(2;+\infty).$$

   Функция возрастает до точки $$x=-2$$ и убывает после неё:

   $$y \text{ возрастает при } x\in(-\infty;-2],$$

   $$y \text{ убывает при } x\in[-2;+\infty).$$

3. в) $$y=x^2-4$$

   Нули функции:

   $$x^2-4=0$$

   $$x^2=4$$

   $$x=\pm 2$$

   Значит, нули функции: $$x=-2$$ и $$x=2$$.

   Так как парабола ветвями вверх, то

   $$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty),$$

   $$y<0 \text{ при } x\in(-2;2).$$

   Функция убывает до вершины и возрастает после неё:

   $$y \text{ убывает при } x\in(-\infty;0],$$

   $$y \text{ возрастает при } x\in[0;+\infty).$$

4. г) $$y=x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}$$

   Область определения: $$x\ne 0$$.

   Нулей функции нет, так как

   $$\dfrac{1}{x^2}=0$$

   не имеет решений.

   Поскольку $$\dfrac{1}{x^2}>0$$ при любом $$x\ne 0$$, то

   $$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

   На каждом из промежутков области определения функция убывает:

   $$y \text{ убывает при } x\in(-\infty;0),$$

   $$y \text{ убывает при } x\in(0;+\infty).$$

Ответ

а) нули: $$2,\,4$$; $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty)$$, $$y<0$$ при $$x\in(2;4)$$; убывает на $$(-\infty;3]$$, возрастает на $$[3;+\infty)$$.
б) нули: $$-6,\,2$$; $$y>0$$ при $$x\in(-6;2)$$, $$y<0$$ при $$x\in(-\infty;-6)\cup(2;+\infty)$$; возрастает на $$(-\infty;-2]$$, убывает на $$[-2;+\infty)$$.
в) нули: $$-2,\,2$$; $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$$, $$y<0$$ при $$x\in(-2;2)$$; убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$.
г) нулей нет; $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;+\infty)$$.