Упр.799 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 1+a+a^2+…+a^(n-1);
б) (a+1/a)+(a^2+1/a^2)+(a^3+1/a^3)+…(a^n+1/a^n).

а) Это сумма первых $$n$$ членов геометрической прогрессии с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=a$$. Тогда

$$ S=1+a+a^2+\dots+a^{n-1}=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{a^n-1}{a-1}. $$

б) Разобьём сумму на две геометрические прогрессии:

$$ S=\left(a+a^2+\dots+a^n\right)+\left(\frac1a+\frac1{a^2}+\dots+\frac1{a^n}\right). $$

Первая сумма:

$$ S_1=a+a^2+\dots+a^n=\frac{a(a^n-1)}{a-1}=\frac{a^{n+1}-a}{a-1}. $$

Вторая сумма:

$$ S_2=\frac1a+\frac1{a^2}+\dots+\frac1{a^n}. $$

Это геометрическая прогрессия с первым членом $$\frac1a$$ и знаменателем $$\frac1a$$, поэтому

$$ S_2=\frac{\frac1a\left(\left(\frac1a\right)^n-1\right)}{\frac1a-1} =\frac{1-a^n}{a^n(a-1)}. $$

Тогда

$$ S=S_1+S_2=\frac{a^{n+1}-a}{a-1}+\frac{1-a^n}{a^n(a-1)}. $$

Приведём к общему виду:

$$ S=\frac{a^{2n+1}-a^{n+1}+a^n-1}{a^n(a-1)} =\frac{(a^{n+1}+1)(a^n-1)}{a^n(a-1)}. $$

Ответ

а) $$\frac{a^n-1}{a-1}$$;

б) $$\frac{(a^{n+1}+1)(a^n-1)}{a^n(a-1)}$$.