Упр.798 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Даны последовательности $$(a_n)$$ и $$(b_n)$$, где $$a_n=2^{n+4}$$, $$b_n=2n+9$$. Докажите, что $$a_n>b_n$$ при любом натуральном значении $$n$$.
2. Выведите формулу произведения первых $$n$$ членов геометрической прогрессии.

Пусть $$b_1, b_2, \ldots, b_n$$ — первые $$n$$ членов геометрической прогрессии, тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad \ldots,\quad b_n=b_1q^{n-1}.$$

Тогда произведение первых $$n$$ членов равно

$$P_n=b_1\cdot b_2\cdot b_3\cdot \ldots \cdot b_n.$$

Подставим выражения для членов прогрессии:

$$P_n=b_1\cdot (b_1q)\cdot (b_1q^2)\cdot \ldots \cdot (b_1q^{n-1}).$$

Соберём одинаковые множители:

$$P_n=b_1^n q^{1+2+\cdots+(n-1)}.$$

Сумма первых $$n-1$$ натуральных чисел равна

$$1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}.$$

Значит,

$$P_n=b_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}}.$$

Ответ

$$P_n=b_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}}.$$