Упр.796 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) {a_4-a_2=0,6, a_5-a_3=1,2, S_n=12,7};
б) {a_1+a_3=5,2, a_2+a_4=1,04, S_n=6,24}.

Подробный ответ

а) Для геометрической прогрессии $$a_2=a_1q,\quad a_3=a_1q^2,\quad a_4=a_1q^3,\quad a_5=a_1q^4.$$
Из первого равенства:
$$a_4-a_2=a_1q^3-a_1q=a_1q(q^2-1)=0{,}6.$$
Из второго равенства:
$$a_5-a_3=a_1q^4-a_1q^2=a_1q^2(q^2-1)=1{,}2.$$
Делим второе уравнение на первое:
$$\frac{a_1q^2(q^2-1)}{a_1q(q^2-1)}= \frac{1{,}2}{0{,}6},$$
откуда $$q=2.$$
Тогда из $$a_1q(q^2-1)=0{,}6$$ получаем:
$$a_1\cdot 2\cdot(4-1)=0{,}6,$$
$$a_1=0{,}1.$$
Теперь используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{q a_n-a_1}{q-1}.$$
Подставим данные:
$$12{,}7=\frac{2a_n-0{,}1}{2-1},$$
$$2a_n-0{,}1=12{,}7,$$
$$2a_n=12{,}8,$$
$$a_n=6{,}4.$$
б) Для геометрической прогрессии:
$$a_3=a_1q^2,\quad a_2=a_1q,\quad a_4=a_1q^3.$$
Из первого равенства:
$$a_1+a_3=5{,}2,$$
$$a_1+a_1q^2=5{,}2,$$
$$a_1(1+q^2)=5{,}2.$$
Из второго равенства:
$$a_2+a_4=1{,}04,$$
$$a_1q+a_1q^3=1{,}04,$$
$$a_1q(1+q^2)=1{,}04.$$
Делим второе уравнение на первое:
$$q=\frac{1{,}04}{5{,}2}=0{,}2.$$
Тогда
$$a_1(1+0{,}2^2)=5{,}2,$$
$$a_1\cdot 1{,}04=5{,}2,$$
$$a_1=5.$$
Используем формулу суммы:
$$S_n=\frac{q a_n-a_1}{q-1}.$$
Подставим значения:
$$6{,}24=\frac{0{,}2a_n-5}{0{,}2-1},$$
$$6{,}24=\frac{0{,}2a_n-5}{-0{,}8},$$
$$0{,}2a_n-5=-4{,}992,$$
$$0{,}2a_n=0{,}008,$$
$$a_n=0{,}04.$$