Упр.794 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 794. Известно, что (b_n) — геометрическая прогрессия, в которой (b_4-b_2)/(b_3-b_1)=4 и S_4=340. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, а $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

Из условия

$$\frac{b_4-b_2}{b_3-b_1}=4.$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$\frac{b_1q^3-b_1q}{b_1q^2-b_1}=4,$$

$$\frac{q(q^2-1)}{q^2-1}=4,$$

откуда $$q=4.$$

Теперь используем формулу суммы первых четырёх членов:

$$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=340.$$

Подставим $$q=4$$:

$$\frac{b_1(4^4-1)}{4-1}=340,$$

$$\frac{b_1(256-1)}{3}=340,$$

$$255b_1=1020,$$

$$b_1=4.$$

Найдём сумму первых шести членов:

$$S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\frac{4(4^6-1)}{4-1}.$$

$$S_6=\frac{4(4096-1)}{3}=\frac{4\cdot 4095}{3}=4\cdot 1365=5460.$$

Ответ

$$5460$$