Упр.793 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) n и b_n, если b_1=0,5, q=2, S_n=31,5;
б) n и q, если b_1=9, b_n=1/9, S_n=13 4/9;
в) q и b_3, если b_1=6,2, S_3=80,6.

Подробный ответ

а) Для суммы первых n членов геометрической прогрессии используем формулу
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$
Подставим данные:
$$31{,}5=\frac{0{,}5(2^n-1)}{2-1}.$$
Тогда
$$31{,}5=0{,}5(2^n-1),$$
$$2^n-1=63,$$
$$2^n=64,$$
$$n=6.$$
Найдём $$b_n$$:
$$b_n=b_1q^{n-1}=0{,}5\cdot 2^5=16.$$
б) Используем формулу суммы:
$$13\frac{4}{9}=\frac{9\left(q^n-1\right)}{q-1}.$$
Так как $$b_n=b_1q^{n-1},$$ то
$$\frac{1}{9}=9q^{n-1},$$
$$q^{n-1}=\frac{1}{81}.$$
Из условия суммы получаем
$$13\frac{4}{9}=\frac{121}{9},$$
поэтому
$$\frac{9(q^n-1)}{q-1}=\frac{121}{9}.$$
После преобразований получаем
$$q=\frac{1}{3}.$$
Тогда
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}=\left(\frac{1}{3}\right)^4,$$
значит,
$$n-1=4,\quad n=5.$$
в) Для суммы первых трёх членов:
$$S_3=\frac{b_1(q^3-1)}{q-1}.$$
Подставим данные:
$$80{,}6=\frac{6{,}2(q^3-1)}{q-1}.$$
Умножим на $$q-1$$:
$$80{,}6(q-1)=6{,}2(q^3-1).$$
После преобразования:
$$q^3-13q+12=0.$$
Разложим на множители:
$$q^3-13q+12=(q-1)(q^2+q-12)=0.$$
Отсюда
$$q_1=1,\quad q_2=-4,\quad q_3=3.$$
Значение $$q=1$$ не подходит для формулы суммы геометрической прогрессии, поэтому остаются:
$$q=-4 \quad \text{или} \quad q=3.$$
Найдём $$b_3$$:
$$b_3=b_1q^2.$$
Если $$q=-4,$$ то
$$b_3=6{,}2\cdot (-4)^2=6{,}2\cdot 16=99{,}2.$$
Если $$q=3,$$ то
$$b_3=6{,}2\cdot 3^2=6{,}2\cdot 9=55{,}8.$$