Упр.792 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 1+3+3^2+…+3^(4n-2)+3^(4n-1) кратна 40;
б) 1+5+5^2+…+5^(3n-2)+5^(3n-1) кратна 31.

а) Рассмотрим сумму

$$1+3+3^2+\dots+3^{4n-2}+3^{4n-1}.$$

Это сумма первых $$4n$$ членов геометрической прогрессии с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=3$$. Тогда

$$S_{4n}=\frac{q^{4n}-1}{q-1}=\frac{3^{4n}-1}{3-1}=\frac{3^{4n}-1}{2}.$$

Так как $$3^4=81$$, то

$$S_{4n}=\frac{81^n-1}{2}=\frac{(81-1)(81^{n-1}+81^{n-2}+\dots+1)}{2}.$$

Получаем

$$S_{4n}=40(81^{n-1}+81^{n-2}+\dots+1),$$

значит, сумма кратна $$40$$.

б) Рассмотрим сумму

$$1+5+5^2+\dots+5^{3n-2}+5^{3n-1}.$$

Это сумма первых $$3n$$ членов геометрической прогрессии с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=5$$. Тогда

$$S_{3n}=\frac{q^{3n}-1}{q-1}=\frac{5^{3n}-1}{5-1}=\frac{5^{3n}-1}{4}.$$

Так как $$5^3=125$$, то

$$S_{3n}=\frac{125^n-1}{4}=\frac{(125-1)(125^{n-1}+125^{n-2}+\dots+1)}{4}.$$

Получаем

$$S_{3n}=31(125^{n-1}+125^{n-2}+\dots+1),$$

значит, сумма кратна $$31$$.

Ответ

а) кратна $$40$$; б) кратна $$31$$.