Упр.791 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии первый член составляет одну четвёртую часть от суммы всех остальных. Найдите первый член и знаменатель прогрессии, если известно, что третий член этой прогрессии равен $$9$$.
2. Найдите сумму, в которой слагаемые составляют геометрическую прогрессию:
   
   а) $$0,02+0,06+0,18+\ldots+43,75$$;
   
   б) $$230,4-115,2+57,6-\ldots+0,9$$.

а) Данная сумма является суммой геометрической прогрессии, где

$$b_1=0{,}02,\quad b_n=43{,}74,\quad q=\frac{0{,}06}{0{,}02}=3.$$

Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{q\cdot b_n-b_1}{q-1}.$$

Тогда

$$S_n=\frac{3\cdot 43{,}74-0{,}02}{3-1}=\frac{131{,}2}{2}=65{,}6.$$

б) Здесь также имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1=230{,}4,\quad b_n=0{,}9,\quad q=\frac{-115{,}2}{230{,}4}=-\frac12.$$

По той же формуле:

$$S_n=\frac{q\cdot b_n-b_1}{q-1}.$$

Подставим значения:

$$S_n=\frac{-\frac12\cdot 0{,}9-230{,}4}{-\frac12-1} =\frac{-0{,}45-230{,}4}{-\frac32} =\frac{-230{,}85}{-\frac32}=153{,}9.$$

Ответ

а) $$65{,}6$$; б) $$153{,}9$$.