Упр.790 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 790. Пользуясь методом математической индукции, докажите, что если (b_n) — геометрическая прогрессия, то b_n=b_1 q^(n-1), S_n=b_1 (q^n-1)/(q-1).

1. Докажем формулу для общего члена геометрической прогрессии:
   $$b_n=b_1q^{n-1}.$$

   База индукции: при $$n=1$$ имеем

   $$b_1=b_1q^{1-1}=b_1q^0=b_1.$$

   Формула верна.

   Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ формула верна, то есть

   $$b_k=b_1q^{k-1}.$$

   Тогда для следующего члена прогрессии

   $$b_{k+1}=b_kq=b_1q^{k-1}\cdot q=b_1q^k=b_1q^{(k+1)-1}.$$

   Следовательно, формула верна для $$n=k+1$$. Значит, по принципу математической индукции

   $$b_n=b_1q^{n-1}.$$

2. Докажем формулу суммы первых $$n$$ членов:
   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$

   База индукции: при $$n=1$$

   $$S_1=b_1=\frac{b_1(q^1-1)}{q-1},$$

   так как

   $$\frac{b_1(q-1)}{q-1}=b_1.$$

   Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

   $$S_k=\frac{b_1(q^k-1)}{q-1}.$$

   Тогда

   $$S_{k+1}=S_k+b_{k+1}.$$

   Подставим формулы для $$S_k$$ и $$b_{k+1}$$:

   $$S_{k+1}=\frac{b_1(q^k-1)}{q-1}+b_1q^k.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ S_{k+1}=\frac{b_1(q^k-1)+b_1q^k(q-1)}{q-1} =\frac{b_1(q^{k+1}-1)}{q-1}. $$

   Значит, формула верна и для $$n=k+1$$. Следовательно, по принципу математической индукции

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$

Ответ

$$b_n=b_1q^{n-1}, \qquad S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$