Упр.789 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма первых двух членов равна $$9$$. Сумма последовательности, составленной из кубов её членов, относится к сумме последовательности, составленной из квадратов её членов, как $$36:7$$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
2. Сколько членов геометрической прогрессии $$6, 12, 24, \ldots$$ надо сложить, чтобы полученная сумма была:
   а) равна $$3066$$;
   б) больше $$6000$$?

Для геометрической прогрессии $$6, 12, 24, \ldots$$ имеем:

$$b_1=6,\quad q=\frac{12}{6}=2.$$

Сумма первых $$n$$ членов:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{6(2^n-1)}{2-1}=6(2^n-1).$$

1. Пусть $$S_n=3066$$. Тогда

   $$6(2^n-1)=3066,$$
   $$2^n-1=511,$$
   $$2^n=512=2^9,$$
   $$n=9.$$

2. Пусть $$S_n>6000$$. Тогда

   $$6(2^n-1)>6000,$$
   $$2^n-1>1000,$$
   $$2^n>1001.$$

   Так как $$2^9=512$$, а $$2^{10}=1024,$$ то наименьшее подходящее значение $$n$$ равно $$10$$. Значит, $$n\ge 10$$.

Ответ

а) $$9$$; б) $$n\ge 10$$.