Упр.788 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $$\left(b_n\right)$$ равна $$3$$, а сумма последовательности, составленной из квадратов её членов, равна $$1{,}8$$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии $$\left(b_n\right)$$.
- Найдите сумму первых $$n$$ членов геометрической прогрессии $$\left(a_n\right)$$, если:
а) $$a_1=-27$$, $$q=\frac{1}{3}$$, $$n=6$$;
в) $$a_n=\frac{1}{108}$$, $$q=\frac{1}{6}$$, $$n=5$$;
б) $$a_1=\frac{1}{625}$$, $$q=-5$$, $$n=5$$;
г) $$a_n=3$$, $$q=\frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$n=6$$.
Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}, \quad q\ne 1.$$
а) $$a_1=-27,\ q=\frac13,\ n=6.$$
$$S_6=\frac{-27\left(1-\left(\frac13\right)^6\right)}{1-\frac13} =\frac{-27\left(1-\frac1{729}\right)}{\frac23} =-27\cdot\frac32\cdot\frac{728}{729} =-\frac{364}{9} =-40\frac49.$$
б) $$a_1=\frac1{625},\ q=-5,\ n=5.$$
$$S_5=\frac{\frac1{625}\left(1-(-5)^5\right)}{1-(-5)} =\frac{\frac1{625}(1+3125)}{6} =\frac{\frac{3126}{625}}{6} =\frac{521}{625}.$$
в) $$a_5=\frac1{108},\ q=\frac16,\ n=5.$$
Найдём первый член:
$$a_5=a_1q^4,\qquad a_1=\frac{a_5}{q^4}=\frac{1}{108}\cdot 6^4=\frac{1296}{108}=12.$$
Тогда
$$S_5=\frac{12\left(1-\left(\frac16\right)^5\right)}{1-\frac16} =\frac{12\left(1-\frac1{7776}\right)}{\frac56} =\frac{12\cdot 6}{5}\cdot\frac{7775}{7776} =\frac{1555}{108} =14\frac{43}{108}.$$
г) $$a_6=3,\ q=\frac{\sqrt2}{2},\ n=6.$$
Найдём первый член:
$$a_6=a_1q^5,\qquad a_1=\frac{a_6}{q^5}=3\cdot(\sqrt2)^5=12\sqrt2.$$
Тогда
$$S_6=\frac{12\sqrt2\left(1-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^6\right)}{1-\frac{\sqrt2}{2}} =\frac{12\sqrt2\left(1-\frac18\right)}{1-\frac{\sqrt2}{2}} =\frac{24\sqrt2\cdot\frac78}{2-\sqrt2} =\frac{21\sqrt2}{2-\sqrt2}.$$
$$S_6=\frac{21\sqrt2(2+\sqrt2)}{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)} =\frac{21\sqrt2(2+\sqrt2)}{2} =21(\sqrt2+1).$$
Ответ
а) $$-40\frac49$$; б) $$\frac{521}{625}$$; в) $$14\frac{43}{108}$$; г) $$21(\sqrt2+1)$$.
