Упр.787 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 787. Решите неравенство: а) ||3-x|-2| < 4; б) ||2+x|+1| > 3.

а) Рассмотрим неравенство

$$||3-x|-2|<4.$$

Для модуля имеем:

$$-4<|3-x|-2<4.$$

Прибавим 2 ко всем частям:

$$-2<|3-x|<6.$$

Так как $$|3-x|\ge 0,$$ левая часть выполняется всегда, остаётся:

$$|3-x|<6.$$

Тогда

$$-6<3-x<6,$$

$$-9<-x<3,$$

$$-3<x<9.$$

Следовательно,

$$x\in(-3;9).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$||2+x|+1|>3.$$

Так как $$|2+x|+1\ge 1,$$ то выражение внутри внешнего модуля неотрицательно, значит

$$|2+x|+1>3.$$

Тогда

$$|2+x|>2.$$

Отсюда получаем два случая:

$$2+x>2 \quad \text{или} \quad 2+x<-2.$$

То есть

$$x>0 \quad \text{или} \quad x<-4.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-4)\cup(0;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-3;9)$$; б) $$(-\infty;-4)\cup(0;+\infty).$$