Упр.785 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 785. Является ли ограниченной функция y=6/(x^2+1)? Укажите наименьшее и наибольшее значения функции, если они существуют.

Рассмотрим функцию $$y=\frac{6}{x^2+1}.$$

Так как для любого $$x$$ выполняется $$x^2 \ge 0,$$ то

$$x^2+1 \ge 1.$$

Значит, знаменатель дроби не меньше 1, поэтому

$$0<\frac{1}{x^2+1}\le 1.$$

Умножим все части неравенства на 6:

$$0<\frac{6}{x^2+1}\le 6.$$

Следовательно, функция ограничена снизу и сверху:

$$0<y\le 6.$$

Наибольшее значение достигается при $$x=0$$:

$$y=\frac{6}{0^2+1}=6.$$

Наименьшего значения функция не имеет, так как при $$|x|\to \infty$$ значение $$y$$ стремится к 0, но не равно 0.

Ответ

Функция ограничена. Наибольшее значение: $$6$$. Наименьшего значения не существует.