Упр.784 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 784. В арифметической прогрессии (x_n) и геометрической прогрессии (b_n), все члены которых положительны, a_1=b_1=2. Найдите два последующих члена каждой прогрессии, если известно, что их вторые члены совпадают, а третий член арифметической прогрессии на 2 меньше третьего члена геометрической прогрессии.

Пусть $$a_n$$ — арифметическая прогрессия, а $$b_n$$ — геометрическая прогрессия. Тогда

$$a_1=b_1=2.$$

Обозначим разность арифметической прогрессии через $$d$$, а знаменатель геометрической прогрессии через $$q$$.

Из условия о вторых членах получаем:

$$a_2=a_1+d=2+d,$$

$$b_2=b_1q=2q,$$

$$2+d=2q,$$

откуда

$$d=2q-2.$$

Теперь используем условие о третьих членах:

$$a_3=a_1+2d=2+2d,$$

$$b_3=b_1q^2=2q^2,$$

и по условию

$$a_3=b_3-2.$$

Подставим выражение для $$d$$:

$$2+2(2q-2)=2q^2-2,$$

$$4q-2=2q^2-2,$$

$$4q=2q^2,$$

$$2q(q-2)=0.$$

Так как все члены прогрессий положительны, то $$q>0$$, значит $$q=2$$.

Тогда

$$d=2q-2=2.$$

Найдём следующие члены:

$$a_2=2+d=4,$$

$$a_3=4+d=6,$$

$$b_2=2q=4,$$

$$b_3=4q=8.$$

Ответ

$$a_2=b_2=4,\quad a_3=6,\quad b_3=8.$$