Упр.783 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 783. Три числа, сумма которых равна 65, составляют геометрическую прогрессию. Если из первого числа вычесть 25, второе оставить без изменения, а к третьему прибавить 5, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Обозначим первое число геометрической прогрессии через $$b_1$$, знаменатель прогрессии — через $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$

По условию сумма трёх чисел равна $$65$$, значит

$$b_1+b_1q+b_1q^2=65,$$

$$b_1(1+q+q^2)=65.$$

После преобразования полученные числа $$b_1-25,\ b_2,\ b_3+5$$ образуют арифметическую прогрессию, поэтому средний член равен полусумме крайних:

$$2b_2=(b_1-25)+(b_3+5).$$

Подставим $$b_2=b_1q$$ и $$b_3=b_1q^2$$:

$$2b_1q=b_1-20+b_1q^2,$$

$$b_1(1-2q+q^2)=20.$$

Удобнее воспользоваться тем, что для арифметической прогрессии

$$2b_2=b_1+b_3-20.$$

Но $$b_1+b_2+b_3=65$$, значит

$$2b_2=65-b_2-20,$$

$$3b_2=45,$$

$$b_2=15.$$

Тогда

$$b_1q=15,\quad b_1=\frac{15}{q}.$$

Подставим в равенство суммы:

$$\frac{15}{q}(1+q+q^2)=65,$$

$$15\left(\frac{1}{q}+1+q\right)=65,$$

$$3q^2-10q+3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=100-36=64,$$

$$q=\frac{10\pm 8}{6}.$$

Получаем

$$q_1=3,\quad q_2=\frac13.$$

Если $$q=3$$, то

$$b_1=\frac{15}{3}=5,\quad b_2=15,\quad b_3=45.$$

Если $$q=\frac13$$, то

$$b_1=\frac{15}{1/3}=45,\quad b_2=15,\quad b_3=5.$$

Ответ

$$5,\ 15,\ 45$$ или $$45,\ 15,\ 5$$.