Упр.781 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 781. Найдите четыре целых числа, из которых первые три составляют геометрическую профессию, а последние три составляют арифметическую прогрессию, если известно, что сумма двух средних чисел равна 12, а сумма двух крайних чисел равна 14.

Обозначим четыре числа через $$a_1, a_2, a_3, a_4.$$

Так как первые три числа образуют геометрическую прогрессию, то

$$a_2=a_1q,\quad a_3=a_1q^2.$$

По условию сумма двух средних чисел равна 12:

$$a_2+a_3=12,$$

значит

$$a_1q+a_1q^2=12,$$

$$a_1q(1+q)=12,$$

откуда

$$a_1=\frac{12}{q(1+q)}.$$

Так как последние три числа образуют арифметическую прогрессию, то

$$d=a_3-a_2=a_1q^2-a_1q=a_1q(q-1),$$

и

$$a_4=a_3+d=a_1q^2+a_1q(q-1).$$

По условию сумма двух крайних чисел равна 14:

$$a_1+a_4=14.$$

Подставим выражения для $$a_1$$ и $$a_4$$:

$$\frac{12}{q(1+q)}+\frac{12q}{1+q}+\frac{12(q-1)}{1+q}=14.$$

Умножим на $$q(1+q)$$:

$$12+12q^2+12q(q-1)=14q(1+q).$$

$$12+12q^2+12q^2-12q=14q+14q^2.$$

$$5q^2-13q+6=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=13^2-4\cdot 5\cdot 6=169-120=49,$$

$$q=\frac{13\pm 7}{10}.$$

Получаем:

$$q_1=2,\quad q_2=\frac{3}{5}.$$

Так как числа должны быть целыми, берём $$q=2.$$ Тогда

$$a_1=\frac{12}{2(1+2)}=2,$$

$$a_2=a_1q=2\cdot 2=4,$$

$$a_3=a_2q=4\cdot 2=8,$$

$$a_4=a_3+(a_3-a_2)=8+(8-4)=12.$$

Ответ

$$2;\ 4;\ 8;\ 12.$$