Упр.780 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) a^2 b^2 c^2 (1/a^3+1/b^3+1/c^3)=a^3+b^3+c^3;
б) (a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2.

Пусть числа $$a, b, c$$ образуют геометрическую прогрессию. Тогда можно записать:

$$a=b_1,\quad b=b_1q,\quad c=b_1q^2.$$

а) Преобразуем левую часть:

$$ a^2b^2c^2\left(\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}\right) = \frac{b^2c^2}{a}+\frac{a^2c^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}. $$

Подставим $$a=b_1,\ b=b_1q,\ c=b_1q^2$$:

$$ \frac{b^2c^2}{a}+\frac{a^2c^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c} = \frac{b_1^2q^2\cdot b_1^2q^4}{b_1} +\frac{b_1^2\cdot b_1^2q^4}{b_1q} +\frac{b_1^2\cdot b_1^2q^2}{b_1q^2}. $$

$$ = b_1^3q^6+b_1^3q^3+b_1^3 = c^3+b^3+a^3 = a^3+b^3+c^3. $$

б) Рассмотрим произведение:

$$ (a+b+c)(a-b+c) = (b_1+b_1q+b_1q^2)(b_1-b_1q+b_1q^2). $$

Вынесем $$b_1^2$$:

$$ = b_1^2(1+q+q^2)(1-q+q^2). $$

Перемножим скобки:

$$ (1+q+q^2)(1-q+q^2)=(1+q^2)^2-q^2=1+q^2+q^4. $$

Тогда

$$ (a+b+c)(a-b+c)=b_1^2(1+q^2+q^4)=b_1^2+b_1^2q^2+b_1^2q^4. $$

Но

$$ a^2+b^2+c^2=b_1^2+(b_1q)^2+(b_1q^2)^2=b_1^2+b_1^2q^2+b_1^2q^4. $$

Следовательно,

$$ (a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2. $$

Ответ

$$ a^2b^2c^2\left(\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3, \qquad (a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2. $$